Soit `n` entier naturel

On considère l'équation `f_n` définie sur `R` par `f_n(x)= (-2e^x)/(1+e^x) +nx `

`C_f` la courbe de `f` dans un repère orthonormé `abs(abs(vec(i))) =abs(abs(vec(j))) = 1 `

Partie I

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx +2 ` puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

b) Montrer que la courbe `C_f` admet , au voisinage de `-infty` , une asymptote dont on déterminera l' équation cartésienne

2) a) Montrer que `f_n` est dérivable sur `R` et ` forall x in R : f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x)^2 + n `

b) Montrer que ` forall x in R : (4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 `

c) En déduire les variations de `f_n` ( discuter les cas `n = 0 ` et ` n >= 1` )

3a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `C_f` au point `I ` d'abscisse `x= 0 `

b) Montrer que `I` est l'unique point d'inflexion de la courbe `C_f`

4) Tracer dans le meme repère les courbes `C_0 , C_2 `

5) Pour tout `t > 0 ` on pose `A(t)` l'aire du domaine délimité par la courbe `C_n` et les droites ` y = nx -2 ` et ` x= 0 , x= t `

a) Calculer `A(t) ` pour tout ` t > 0 `

b) Calculer `lim_{ t to +infty} A(t) `

Partie II

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 0 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f_0(u_n) `

6)a ) Montrer que l'équation `f_0(x)= x ` admet une solution unique ` alpha ` dans `R `

b) Montrer que ` forall x in R : abs((f_0)'(x)) <= 1/2 `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 abs(u_n-alpha) `

d) En déduire que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `

e) Montrer que `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `

Partie III

On suppose dans cette partie ` n >= 2 `

7) a) Montrer que pour tout ` n >= 2 ` l'équation `f_n(x)=0` admet une solution unique ` x_n `

b) Montrer que `0 < x_n < 1 ` on donne ( `(2e)/(1+e) < 1.47 `

8) a) Montrer que `f_(n+1)(x_n) > 0 `

b) En déduire que `(x_n)_(n>=2)` est décroissante

c) Montrer que `(x_n)` est convergente

9) a) Montrer que `1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e))`

b) En déduire la limite `lim_{ n to +infty} x_n ` puis montrer que `lim_{ n to +infty} nx_n = 1 `

10) a Montrer que ` forall n >= 2 :x_n <=x_2 `

b) En déduire que `lim_{ n to +infty} (x_n)^n `